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■ 待ち行列らくらくメモ
ネットワークおよびキャパシティプランニングの問題において、待ち行列問題はよく登場します。ここで、ソフトウエア開発技術者試験においては、Ｍ／Ｍ／１モデルが出題されます。
Ｍ／Ｍ／１は、それぞれ、到着／サービス／窓口数を表します。
Ｍ／Ｍ／１モデルの場合、到着はポアソン分布に従い、サービスは指数分布に従います。これはどちらも一定ではなくランダムという意味であるが、意味が少し異なります。
覚え方：「ポアソンとうちゃんシースルーでサービス」
ポアソン分布 到着率 指数分布 サービス率
コンビニの例で考えると、ポアソン分布はお客さんが店に入ってくる頻度です。お客さんはある時は集団で入ってきたり、まったく来なかったりします。ポアソン分布は０にもなりうります。
指数分布はレジがお客さんをさばく頻度です。レジではお弁当を温めたり、領収証を要求するお客さんに対しては時間がかかるが、缶コーヒーを買うお客さんに対しては時間はかかりません。しかし時間が０ということはありません。これが指数分布です。
窓口数は、レジが一つかどうかを表す。２つあればＭ／Ｍ／２，３つあればＭ／Ｍ／３となるが、ソフトウエア開発技術者試験ではほぼ窓口数は１つと考えて構いません。窓口数が２のときには対応するグラフや表が問題に用意されているので、それにしたがって解答すればＯＫです。なお、サービス時間が一定であるＭ／Ｄ／１モデルというのもある。イメージとしては観覧車のイメージであるが、これももし出題されても資料が用意されます。
ここで、Ｍ／Ｍ／１モデルを解答する例として、銀行のＡＴＭ装置を例に考えます。ＡＴＭにおいては残高照会、振込、引出などのサービスを提供しており、それぞれのサービス時間は異なるが平均で３分とする。またこのＡＴＭは１時間当たり１６人が利用するものとする。
まず、窓口利用率ρ（"ろー"と読む）を求める。
λ(到着率)
ρ＝───────
μ(サービス率)
（"λ"は"らむだ"、"μ"は"みゅー"と読む）
まずλとμの単位を決めます。問題を通じてこの単位をそろえることに注意してください。単位の分子は処理単位（この場合は「人」）、分母は時間の単位（この場合は「時間」）とします。
λ(到着率＝何人やってくる？) (人／時間)
ρ＝──────────────────────
μ(サービス率＝何人さばける？)(人／時間)
分子には到着の頻度、分母には処理能力を入れます。（窓口利用率は、情報処理技術者試験的には１より小さい値となります。従って単位をそろえたならば、分子に小さい値、分母に大きい値を入れればＯＫです。）
λ(到着率) 到着の頻度 １６(人／時間)
ρ＝───────＝─────＝───────＝０．８
μ(サービス率) 処理能力 ２０(人／時間)
窓口利用率ρを求めたら、並んでいる人数と、平均待ち時間と平均応答時間を求める。
並んでいる人数は、以下の式で求める。
ρ ０．８
並んでいる人数＝───＝─────＝４(人)
（待ち行列長） １－ρ １－０．８
平均待ち時間は、ＡＴＭ装置の行列に並び始めてから、自分の番が来るまでの時間である。したがって、４人のお客さんにそれぞれ３分かかるので、平均待ち時間は以下の式となる。
平均待ち時間＝並んでいる人数×処理能力(分)＝４(人)×３(分)＝１２(分)
待ち行列長 サービス時間
このＡＴＭ装置は、１２分は並んで待たねばならないということである。
平均応答時間は、ＡＴＭ装置の行列に並び始めてから、自分の処理が終了するまでの時間である。したがって、先に求めた平均待ち時間１２分に、自分の処理にかかる時間を加えればよい。平均応答時間の式は以下のようになる。
平均応答時間＝平均待ち時間(分)＋自分の処理に要する時間(分)
＝待ち行列長＊サービス時間＋サービス時間
＝１２(分)＋３(分)＝１５(分)
この平均応答時間は以下の式でも求めることができます。上記手順で求めるのもいいが、試験では時間との戦いになるので、式を覚えられるのなら覚えてしまえばＯＫです。
１ １ １
平均応答時間＝─────────────＝─────＝─(時間)＝１５
μ(人／時間)－λ(人／時間) ２０－１６ ４
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